3.稳定性的山谷（Valley of Stability）

一条稳定性山谷穿越这些原子核同位素。在图4中，它是那条代表稳定原子核的不规则黑色曲线。在两侧，原子核是不稳定的。靠近山谷中心的区域寿命在很多年以上，而远离中心的寿命则只有几毫秒。离中心足够远的地方是原子核的边缘线，在那里，一个额外的质子或中子没有任何束缚，且会在10^-23秒的数量级内脱离原子核。

对于P大概不超过20的相对较小的原子核，其稳定性山谷的中心位于N=P这条线上。在几何模型里，这条线对应于符号差τ=0的曲面。对于更大的P，山谷中的原子核有中子数溢出N_exc（即中子数与质子数之差）。N_exc随着P的增大而慢慢增大。P靠近20时，N_exc很小；当P=92（对应于准稳定的铀同位素）时，N_exc大于50；而当P靠近120（人工制造的最重的原子核）时，N_exc会再稍微大点。

在标准核模型里，解释山谷存在最主要的理论是泡利原理（Pauli principle）。质子和中子都有一系列十分相似的能量递增的单粒子态，并且每一个态上只允许有一个粒子。给定一个重子数，最低能态拥有等量的质子和中子，且它们填满最低的能态。如果一个质子被一个中子替代，被替换掉的质子态比加进来的中子态能量更低，因此，替换后系统的总能量增加。一个重要的额外效应是配对能量（pairing energy），它倾向于让质子和中子各自配成对。因此，大多数带有奇数个质子和奇数个中子的原子核是不稳定的。

对于较大的P值，单质子的能量趋向于高于单中子的能量。这是因为，除了对质子和中子影响差不多的相互吸引的强核力，质子之间还有相互排斥的库仑（Coulomb）静电场力。当原子核有很大的P时，这一效应变得十分重要，它偏好于中子富裕的原子核。这也解释了P值大于83的原子核的不稳定性。这些原子核或者通过放射出一个α粒子，或者通过裂变成大一点的碎片，而分裂成更小的原子核。然而，其中仍有某些原子核的寿命可以达到几十亿年，这也是P=92的铀可以在自然界相对大量地被发现的原因。

注意，如果N=P，那么电荷数是重子数的一半，根据公式（1.1），同位旋的第三个分量为零。通过研究核的基态和激发态，我们可以确定完整的同位旋，还可以发现它对于稳定的原子核取最小值。因此N=P原子核的同位旋为零。当重子数是奇数时，最稳定原子核的N比P大1（如果P不是很大），它的同位旋是。在斯格姆模型里，同位旋来源于内部自由度的量子化，而这些内部自由度对应于作用在介子场上的SO（3）对称性。存在一个正比于同位旋平方算子I²的能量贡献，正如正比于J²的自旋能量。在没有库仑效应时，能量在同位旋为0或时取得最小值。库仑效应会和同位旋竞争，从而导致总能量的最小值偏向于中子富裕的原子核。

原子核的能量和寿命存在一般的趋势，但还有更多细节可以讨论。每个同位素都有依赖于质子数和中子数的特征，这在激发态的能谱以及基态和激发态的自旋里表现得很清楚。比较有趣的是，当质子数或中子数取某些幻数时，原子核会有额外的稳定性。其中较小的幻数有2、8、20、28、50。更令人惊讶的是，质子和中子这些奇特的性质是相互独立的。这看起来好像和同位旋的重要性矛盾，因为质子和中子在同位旋上明显是相互影响的。

更加稳定的是那些具有双幻数的原子核，比如⁴He、¹⁶O、⁴⁰Ca、⁴⁸Ca。⁴⁰Ca是最大的满足N=P的稳定原子核。⁴⁸Ca也是稳定的，且在自然界少量地存在，但对于相对它较小的原子核来说，它的中子数格外富裕。

对我们来说，重要的问题是我们提出的基于代数曲面的几何模型在多大程度上与这些原子核现象相符，此外我们也不应该忘记中性原子里的电子。我们看到，两者之间存在广泛的相似性：首先，我们上面讨论的曲面有一个“地理”分布，即上文中的几何不等式限制了中子数的取值范围。代数几何学家也从事“植物学”，即仔细构造和研究具有特定拓扑不变量的曲面。这其中的规律是很复杂的，一些曲面很容易构造，一些则很困难，而且它们的内部结构区别很大。这与原子核的复杂性是相似的，同样相似的还有电子轨道和原子壳结构的复杂性（这个目前了解较多一些）。

十分显著的是N=P的原子核稳定线对应于符号差τ=0这一简单的几何条件。我们还没有尝试在全体曲面构成的空间上定义能量函数，但一个简单的做法显然是引入一个正比于τ²的函数作为主导项，这样函数的极小值就会取在我们想要的位置。数学家已经发现，相比于处在质子数富裕（N <P）一侧的曲面，处在N=P线上或者中子数富裕一侧（N>P）的曲面构造起来要容易得多。在中子数富裕一侧总是存在单连通的极小曲面，但在质子数富裕的一侧则不是这样。因此曲面的几何可以相当清楚地区分质子和中子。这对于物理解释是很吸引人的，因为它可以看作是对质子和中子非对称的预言。在标准核物理里面，我们认为在一个理想的没有电磁效应的世界里，质子和中子是严格对称的，但是在现实中，它们并不相同。一部分原因是库仑能量，但更重要的，是因为构成它们的上（u）、下（d）夸克质量不相等，从而使得质子（uud）比中子（udd）轻一些，尽管质子带有电荷。

这个几何模型需要这样一个能量贡献函数，对于较大的原子核或原子，它更偏向于中子而不是质子。一个可能性已经由勒布朗（LeBrun）探索过[25，26]。它被定义为，在所有满足给定拓扑的复曲面中，数量曲率（scalarcurvature）的L²范数的下确界。对于b₁为偶数的曲面，包括所有的单连通的曲面，这个下确界仅仅是乘以一个常数。对于的曲面，它们的数量曲率可以为零；比如K3曲面，它是满足中子富裕的一个极端：P=2，N=18。把τ²和数量曲率的L²范数的正数倍组合起来构成的能量函数可能会更有意思。