2.2　课后习题详解

2-1 在图2-2-1所示的液位自动控制系统中，设容器横截面积为，希望液位为。若液体高度变化率与液位流量差成正比，试列写以液位为输出量的微分方程式。

图2-2-1　液位自动控制系统原理图

解：由题意知液位高度变化率与液体流量差成正比，即

则以液位为输出量的微分方程式为

2-2 设机械系统如图2-2-2所示，其中是输入位移，是输出位移。试分别写出各系统的微分方程。

图2-2-2　机械系统

解：（1）系统（a）

根据力平衡方程，可得

则系统的微分方程式为

（2）系统（b）

弹簧与阻尼器之间取辅助点，并设点位移为，方向向下。根据力平衡方程，可得

消去中间变量，化简得

则系统的微分方程式为

（3）系统（c）

根据力平衡方程，可得

则系统的微分方程式为

2-3 试证明图2-2-3（a）的电网络与图2-2-3（b）的机械系统有相同的数学模型。

图2-2-3　电网络（a）与机械系统（b）

证明：（1）系统（a）

由复数阻抗的方法可得，可得电网络的传递函数为

（2）系统（b）

在弹簧和阻尼器之间引入辅助点，设其位移为，方向向下。根据力平衡方程，可得

对两式作零初始条件下拉氏变换得

消去中间变量，则有

则机械系统的传递函数为

比较、可知：两传递函数的类型相同，即图中两机械系统有相同的数学模型。

2-4 试分别列写图2-2-4中各无源网络的微分方程式。

图2-2-4　无源网络

解：（1）图（a）

根据电压平衡可得

解得

整理可得图（a）所示的微分方程为

（2）图（b）

根据电压平衡可得

解得

整理可得图（b）所示的微分方程为

2-5 设初始条件为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制曲线，指出各方程式的模态。

（1）；

（2）；

（3）。

解：（1）由拉氏变换可得

由拉氏反变换可得

由的表达式可得系统的特征根为：λ＝－0.5，故该方程的运动模态为：。

的曲线如图2-2-5所示。

图2-2-5　单位斜坡响应曲线

（2）由拉氏变换可得

由拉氏反变换可得

由x（t）的表达式可得系统的特征根为：

故该方程的运动模态为：

曲线如图2-2-6所示。

图2-2-6　单位脉冲响应曲线

（3）由拉氏变换可得

由拉氏反变换可得

由x（t）的表达式可得系统的特征根为：，故该方程的运动模态为：，。

x（t）曲线如图2-2-7所示。

图2-2-7　单位阶跃响应曲线

2-6 在液压系统管道中，设通过阀门的流量满足流量方程式中，为比例系数；为阀门前后的压差。若流量与压差在其平衡点附近作微小变化，试导出线性化流量方程。

解：在平衡点处对流量泰勒展开，并取一次项近似可得

由此可得，线性化流量方程为。

2-7 设弹簧特性由下式描述

其中，是弹簧力；是变形位移。若弹簧在变形位移附近作微小变化，试推导的线性化方程。

解：在处对进行泰勒展开，并取一次项近似可得

由此可得，的线性化方程为

2-8 设晶闸管三相桥式全控整流电路的输入量为控制角，输出量为空载整流电压，它们之间的关系为

式中，是整流电压的理想空载值，试推导其线性化方程式。

解：在处对进行泰勒展开，然后取其一次项近似可得

由上式可得：

2-9 若系统在阶跃输入时，零初始条件下的输出响应。试求系统的传递函数和脉冲响应。

解：系统的输入的拉氏变换为：

系统的输出响应为：

即

则系统的传递函数为

系统脉冲响应为

2-10 设系统的传递函数为

初始条件，，试求单位阶跃输入时，系统的输出响应。

解：系统的传递函数对应的微分方程为

对上式两边同时作拉氏变换得

代入已知条件，，，可得

对上式作拉氏反变换得

2-11 在图2-2-8中，已知和两方框对应的微分方程分别是

且初始条件均为零，试求传递函数及。

图2-2-8　系统结构图

解：对题中微分方程两边作零初始条件下拉氏变换有

由上式可得

又由图2-2-8可得传递函数为

即

且

则

因此，传递函数分别为

2-12 求图2-2-9所示有源网络的传递函数。

图2-2-9　有源网络

解：（1）图（a）所示有源网络的传递函数为

（2）图（b）所示有源网络的传递函数为

（3）图（c）所示有源网络的传递函数为

2-13 由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-2-10所示，试求闭环传递函数。

图2-2-10　控制系统模拟电路

解：设第一和第二个运算放大器的输出电压分别为和，由题图可知

且

则有

故

整理得闭环传递函数为

2-14 试参照教材中例2-2给出的电枢控制直流电动机的三组微分方程式，画出直流电动机的结构图，并由结构图等效变换求出电动机的传递函数，。

解：电枢控制直流电动机的三组微分方程式分别为

对上述三式分别进行零初始条件下拉氏变换得

则可以画出直流电动机如图2-2-11所示。

图2-2-11　直流伺服电机结构图

电动机的传递函数为

2-15 某位置随动系统原理方块图如图2-2-12所示。已知电位器最大工作角度,功率放大级放大系数为，要求：

（1）分别求出电位器传递系数，第一级和第二级放大器的比例系数、 ；

（2）画出系统结构图；

（3）简化结构图，求系统传递函数。

图2-2-12　位置随动系统原理图

解：（1）由题可知

（2）设电动机的时间常数为，则直流电动机的传递函数为（忽略电枢电感的影响）

设测速发电机的斜率为，则其传递函数为

系统的结构如图2-2-13所示。

图2-2-13　位置随动系统结构图

（3）简化后的系统结构图如图2-2-14所示。

图2-2-14　系统结构图的简化

则系统的传递函数为

2-16 设直流电动机双闭环调速系统的原理线路如图2-2-15所示。

（1）分别求速度调节器和电流调节器的传递函数；

（2）画出系统结构图（设可控硅电路传递函数为；电流互感器和测速发电机的传递系数分别为和；直流电动机的结构图用题2-14的结果）

（3）简化结构图，求系统传递函数。

图2-2-15　直流电动机调速系统原理图

解：（1）速度调节器和电流调节器的传递函数分别为

（2）由直流电动机调速系统的结构图如图2-2-16所示。

图2-2-16　直流电动机调速系统结构图

（3）对结构图依次化简，如图2-2-17所示。

图2-2-17　电机调速系统结构图简化

由简化的结构图可得系统的传递函数

其中

2-17 已知控制系统结构图如图2-2-18所示，试通过结构图的等效变换求系统传递函数。

图2-2-18　系统结构图

解：（1）图（a）所示系统的简化结构图如图2-2-19所示，则系统传递函数为

（2）图（b）所示系统的简化结构图如图2-2-20所示，则系统传递函数为

图2-2-19　简化结构图

图2-2-20　简化结构图

（3）图（c）所示系统的简化结构图如图2-2-21所示，则系统传递函数为

图2-2-21　简化结构图

（4）图（d）所示系统的简化结构图如图2-2-22所示。

则系统传递函数为

图2-2-22　简化结构图

（5）图（e）所示系统的简化结构图如图2-2-23所示，则系统传递函数为

图2-2-23　简化结构图

（6）图（f）所示系统的简化结构图如图2-2-24所示，则系统传递函数为

图2-2-24　简化结构图

2-18 试简化图2-2-25中的系统结构图，并求传递函数和。

图2-2-25　系统结构图

解：（1）图（a）系统

令，简化结构图如图2-2-26所示，则系统传递函数为

图2-2-26　简化结构图

令，简化结构图如图2-2-27所示，则系统传递函数为

图2-2-27　简化结构图

（2）图（b）系统

令，简化结构图如图2-2-28所示，则系统传递函数为

图2-2-28　简化结构图

令，简化结构图如图2-2-29所示，则系统传递函数为

图2-2-29　简化结构图

2-19 试绘制图2-2-30所示各系统结构图对应的信号流图，并用梅森公式求各系统的传递函数。

图2-2-30　系统结构图

解：（1）图（a）所示系统的信号流图如图2-2-31（a）所示，系统有两条前向通道，一个单独回路，即

由梅森公式得系统传递函数为

（2）图（b）所示系统的信号流图如图2-2-31（b）所示，系统有一条前向通道，两个单独回路，即

由梅森公式得系统传递函数为

（3）图（c）所示系统的信号流图如图2-2-31（c）所示，系统有两条前向通道，两个单独回路，即

由梅森公式得系统传递函数为

（4）图（d）所示系统的信号流图如图2-2-31（d）所示，系统有一条前向通道，三个单独回路，其中一对回路互不接触，即，，，与不接触

由梅森公式得系统传递函数为

（5）图（e）所示系统的信号流图如图2-2-31（e）所示，系统有两条前向通道，三个回路，无不接触回路，即

由梅森公式得系统传递函数为

（6）图（f）系统的信号流图如图2-2-31（f）所示，系统有两条前向通道，一个单独回路，即

由梅森公式得系统传递函数为

图2-2-31　系统信号流图

2-20 画出图2-2-32各系统结构图对应的信号流图，并用梅森增益公式求各系统的传递函数和。

图2-2-32　系统结构图

解：（1）图（a）系统信号流图如图2-2-33（a）所示。

①求

系统有一条前向通道，两个单独回路，即

由梅森公式得系统传递函数为

②求

系统有两条前向通道，两个单独回路，即

由梅森公式得系统传递函数为

（2）图（b）所示系统的信号流图如图2-2-33（b）所示。

①求

系统有三条前向通道，两个单独回路，即

由梅森公式得系统传递函数为

②求

系统有一条前向通道，两个单独回路，即

由梅森公式得系统传递函数为

图2-2-33　系统信号流图

2-21 试绘制图2-2-34中系统结构图对应的信号流图，并用梅森增益公式求传递函数和。

图2-2-34　系统结构图

解：（1）系统（a）信号流图如图2-2-35（a）所示。

①求

系统有两条前向通道，三个单独回路，其中一对回路互不接触，即

与不接触，

由梅森公式得传递函数为

②求

系统有两条前向通道，三个单独回路，其中一对回路互不接触，即

由梅森公式得传递函数为

（2）系统（b）的信号流图如图2-2-35（b）所示。

①求

系统有四条前向通道，五个单独回路，无不接触回路，即

由梅森公式得传递函数为

②求

系统有一条前向通道，五个单独回路，即

由梅森公式得传递函数为

图2-2-35　系统信号流图

2-22 试用梅森增益公式求图2-2-36中各系统信号流图的传递函数。

图2-2-36　系统信号流图

解：（1）系统（a）

有两条前向通道，三个单独回路，无不接触回路，即

由梅森公式得系统传递函数为

（2）系统（b）

有四条前向通道，九个单独回路，其中六对回路互不接触，一组三回路互不接触，即

九个单独回路

六对互不接触的回路

一组互不接触的三回路

由梅森公式得系统传递函数为

（3）系统（c）

有两条前向通道，三个单独回路，二对互不接触回路，即

 ，与不接触，

由梅森公式得系统传递函数为

（4）系统（d）

有两条前向通道，四个单独回路，一对互不接触回路，即

与不接触，；

由梅森公式得系统传递函数为

（5）系统（e）

当作用时有四条前向通道，四个单独回路，一对互不接触回路，即

与不接触，；

由梅森公式得系统传递函数为

当作用时有三条前向通道，四个单独回路，一对互不接触回路，即

与不接触，；

由梅森公式得系统传递函数为

（6）系统（f）

当作用时有九条前向通道，一个单独回路，即

由梅森公式得系统传递函数为

当作用时有三条前向通道，一个单独回路，即

由梅森公式得系统传递函数为

当作用时有三条前向通道，一个单独回路，即

由梅森公式得系统传递函数为

2-23 图2-2-37所示为双摆系统，双摆悬挂在无摩擦的旋轴上，并且用弹簧把它们的中点连在一起。假定：摆的质量为；摆杆长度为，摆杆质量不计；弹簧置于摆杆的处，其弹性系数为；摆的角位移很小，， 均可进行线性近似处理；当时，位于杆中间的弹簧无变形，且外力输入只作用于左侧的杆。若令，要求：

（1）列写双摆系统的运动方程；

（2）确定传递函数；

（3）画出双摆系统的结构图和信号流图。

图2-2-37　双摆系统

解：（1）弹簧所受到的压力为

左边摆杆的受力方程为

即

右边摆杆的受力方程为

即

且有如下近似关系

将代入左右摆杆的受力方程，可得

将代入上述两个方程，并令，，得到双摆系统的运动方程为

（2）对运动方程作零初始条件下的拉氏变换得

化简得

（3）系统结构图和信号流图如图2-2-38及图2-2-39所示。

图2-2-38　双摆系统结构图

图2-2-39　双摆系统信号流图

为便于观察，将图2-2-39改为如图2-2-40所示。

图2-2-40　双摆系统信号流图

由图2-2-40可知

应用梅森公式得

2-24 城市生态系统的多回路模型可能包括下列变量：城市人口数量（变量节点）、现代化程度（变量节点）、流入城市人数（变量节点）、卫生设施（变量节点）、疾病数量（变量节点）、单位面积的细菌数（变量节点）、单位面积的垃圾数（变量节点）等。假定各变量节点间遵循下列因果关系：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）。

各变量节点间支路增益的符号待确定。例如，改变卫生设施后，将减少单位面积的细菌数，因此到传输的支路增益应该为负。试确定各支路增益的正负，用恰当的符号，如等表示支路增益，画出这些因果关系的信号流图，并回答在所给出的四个回路中，哪个是正反馈回路，哪个是负反馈回路?

解：信号流图如图2-2-41所示，则在给出的四个回路中，第一个回路为负反馈回路，其余为正反馈回路。

图2-2-41　生态系统的信号流图