- MATLAB时间序列方法与实践
- 江渝 李幸 卓金武编著
- 772字
- 2020-08-28 00:02:42
3.3 AR模型的统计性质
3.3.1 均值
如果AR(p)模型满足平稳性条件,则有:
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根据平稳序列均值为常数,且为白噪声序列,有
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由此可得:
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3.3.2 方差
将平稳的AR(p)模型表示成如下的传递形式:
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其中系数被称为Green函数。
由平稳AR模型的传递形式:
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两边求方差得:
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3.3.3 自协方差函数
在平稳AR(p)模型两边同乘再求期望:
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根据可以得到自协方差函数的递推公式:
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3.3.4 自相关系数
自相关系数的定义是:特别地:
平稳AR(p)模型的自相关系数递推公式:
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上述方程称为Yule-Walker方程,
注意:在AR(1)模型中,即使Xt−2没有直接出现在模型中,Xt−2和Xt也是相关的,因为Xt−1=a1Xt−2+εt−1。
所以,Xt−2是通过Xt−1与X相关的,这种间接相关出现在所有AR模型中。
Xt−2与Xt的自相关系数ρ2等于X与Xt−1的自相关系数乘Xt−1与Xt的自相关系数
即
平稳AR(p)模型的自相关系数有拖尾性。拖尾性说明Xt之前的每一个序列值Xt−1,Xt−2,…都会对Xt构成影响,但因为自相关系数呈负指数衰减,所以间隔较远的序列值对现时值的影响很小,具有所谓的“短期相关性”。
3.3.5 偏自相关函数
自相关函数ACF(k)给出了Xt与Xt−k的总体相关性,但总体相关性可能掩盖了变量间完全不同的相关关系。
例如,在AR(1)中,Xt与Xt−2间有相关性可能主要是由于它们各自与Xt−1间的相关性带来的:
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即自相关函数中包含了这种所有的“间接”相关。
与之相反,Xt与Xt−k间的偏自相关函数(Partial Autocorrelation,PACF)则是消除了中间变量Xt−1,…,Xt−k+1带来的间接相关后的直接相关性,它是在已知序列值Xt−1,…,Xt−k+1的条件下,Xt与Xt−k间关系的度量。
定义:对于平稳AR(p)序列,所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k−1个随机变量的条件下,或者说,在剔除了中间k−1个随机变量Xt−1,…,Xt−k+1的干扰之后,Xt−k对Xt影响的相关度量。用数学语言描述就是:
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常用AR模型偏自相关系数公式有如下两种。
(1)AR(1)模型
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(2)AR(2)模型
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